ZHAWNotes/Notes/Semester 1/AN1 - Analysis 1/Ableitungen.md

Ableitungen

Die Ableitung einer Funktion sagt aus, wie sich die Werte der Funktion an einer gegebenen Stelle verändern.

Wie zu sehen ist, zeigt f'(x) an Stellen, an denen f(x) eine Steigung hat, einen positiven Wert, an Stellen, an denen f(x) keine Steigung hat, 0 und an Stellen, an denen f(x) sich senkt, einen negativen Wert.

Ableitungen werden jeweils als den Funktions-Namen zusammen mit einem Apostroph geschrieben. So heisst also beispielsweise die Ableitung der Funktion z(x) üblicherweise z'(x).

Note:
Will man die Ableitung eines Terms ausdrücken, so macht man das folgendermassen:

Die Ableitung von 420x - 1337x^2 ist (420x - 1337x^2)'.

Inhaltsverzeichnis

• Ableitungen
  • Inhaltsverzeichnis
  • Realbeispiel
  • Ableitungen erkennen
  • Zweite, Dritte, n. Ableitung
  • Ableitungs-Regeln
    • Allgemeine Regeln
      • Konstante
      • Faktor-Regel
      • Potenz-Regel
      • Summen-Regel
      • Produkt-Regel
      • Quotienten-Regel
      • Ketten-Regel
    • Ableitungen bestimmter Funktionen

Realbeispiel

Die Ableitung kann beispielsweise verwendet werden, um die Geschwindigkeit einer Bewegung abzubilden.

Folgendes Weg-Zeit-Diagramm soll das verdeutlichen:

Nicht nur zeigt hier t' die Ableitung der Funktion t auf, sondern auch jeweils die momentane Geschwindigkeit, die eine Person zum gegebenen Zeitpunkt hat.

Ableitungen erkennen

Ableitungen kann man daran erkennen, dass sie jeweils an den Stellen, an denen die abzuleitende Funktion einen Scheitelpunkt erreicht, einen Wert von 0 haben, da an diesen Stellen weder eine Senkung noch eine Steigung vorherrscht.

Beispiel:

Zweite, Dritte, n. Ableitung

Erstellt man eine Ableitung einer bereits existierenden Ableitung, so nennt sich diese "Zweite Ableitung". Dessen Ableitung wiederum heisst "Dritte Ableitung" etc.

In Worten:

• f' ist die Ableitung von f
• f'' ist die Ableitung von f' und somit die Zweite Ableitung von f
• f''' ist die Ableitung von f'' und somit die Dritte Ableitung von f

Ableitungs-Regeln

Um von einer Funktion (oder Bruchteilen davon) die Ableitung zu errechnen, können einige allgemeingültige Regeln zugezogen werden, welche im Folgenden erklärt werden.

Hilfreiche Links für's Nachschlagen der Regeln:

• https://www.mathebibel.de/ableitungsregeln
• https://www.youtube.com/watch?v=GtVWdeevZpw

Allgemeine Regeln

Konstante

Besteht in der Funktion nur eine Konstante ohne ein x, so ist dessen Ableitung immer 0:

Funktion	Ableitung
f(x) = 1337	f'(x) = 0
f(x) = \sqrt{2}	f'(x) = 0

Faktor-Regel

Die Faktor-Regel besagt, dass konstante Zahlen, mit denen x multipliziert werden, auch in dessen Ableitung bestehen bleiben.

f(x) = c \cdot x \rightarrow f'(x) = c \cdot (x)'

Das bedeutet folgendes:

Wenn f(x) folgender Funktion entspricht:

f(x) = 2 \cdot g(x) und g(x) = x

So ist die Ableitung davon folgende:

f(x) = 2 \cdot g'(x)

Funktion	Ableitung
f(x) = 7x	7

Potenz-Regel

Die Potenzregel lautet folgendermassen:

f(x) = x^n \rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n - 1}

Auch hier wieder anhand einiger Beispiele:

Funktion	Ableitung
f(x) = x	1
f(x) = x^7	7 \cdot x^6
f(x) = x^6	6 \cdot x^5
f(x) = 3x^6	3 \cdot (6 \cdot x^5)

Summen-Regel

Die Ableitung einer Addition ergibt die Summe der Ableitung der einzelnen Summanden der Addition:

f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow f'(x) = g'(x) + h'(x)

Diese Regel ist auch auf Subtraktionen anwendbar:

f(x) = g(x) - h(x) \rightarrow f'(x) = g'(x) - h'(x)

Diese Regel kann für jegliche Funktion, welche eine Addition beinhaltet, angewendet werden:

f(x) = \overbrace{2x}^{g(x) = 2x} + \overbrace{4x^3}^{h(x) = 4x^3}

f'(x) = g'(x) + h'(x)

f'(x) = \underbrace{2 \cdot 1 \cdot x^0}_{g'(x) = 2 \cdot 1 \cdot x^0} + \underbrace{4 \cdot 3 \cdot x^2}_{h'(x) = 4 \cdot 3 \cdot x^2}

Produkt-Regel

Die Produkt-Regel beschreibt, wie eine Ableitung einer Funktion gemacht werden kann, welche eine Multiplikation beinhaltet.

f(x) = g(x) \cdot h(x) \rightarrow f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)

Auch hier wiederum ein Beispiel:

f(x) = \overbrace{(3x^3 + x^2)}^{g(x) = 3x^3 + x^2}\overbrace{(4x^2 + 1)}^{h(x) = 4x^2 + 1}

f'(x) = g'(x) \cdot h'(x)

f'(x) = \underbrace{(3 \cdot 3 x^2 + 1 \cdot x^1)}_{g'(x) = 3 \cdot 3 x^2 + 1 \cdot x^1} \cdot \overbrace{(4x^2 + 1)}^{h(x)} + \overbrace{(3x^3 + x^2)}^{g(x)} \cdot \underbrace{(4 \cdot 2 \cdot x^1 + 0)}_{h'(x) = 4 \cdot 2 \cdot x^1 + 0}

Quotienten-Regel

Von der Produkt-Regel lässt sich auch die Quotienten-Regel ableiten. Diese beschreibt, wie man die Ableitung von Divisionen bilden kann und lautet folgendermassen:

f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \rightarrow \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}

Wie diese Regel angewendet wird, lässt sich anhand des folgenden Beispiels aufzeigen:

f(x) = \left(\frac{\overbrace{3x^2 - x}^{g(x)}}{\underbrace{2x^3 + 1}_{h(x)}}\right)

f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}

f'(x) = \frac{\overbrace{(3 \cdot 2 \cdot x^1 - 1 \cdot x^0)}^{g'(x)} \cdot \overbrace{(2x^3 + 1)}^{h(x)} - \overbrace{(3x^2 - x)}^{g(x)} \cdot \overbrace{(2 \cdot 3 \cdot x^2 + 0)}^{h'(x)}}{(\underbrace{2x^3 + 1}_{h(x)})^2}

Ketten-Regel

Die Ketten-Regel zeigt auf, wie die Ableitung von verschachtelten Funktionen geformt werden kann.

Folgende Regel gilt:

f(x) = g(h(x)) \rightarrow f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)

Aufgezeigt anhand eines Beispiels:

f(x) = \overbrace{(\underbrace{x^3 + 4}_{h(x) = x^3 + 4})^{-2}}^{g(x) = x^{-2}}

f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)

f'(x) = \overbrace{-2 \cdot (\underbrace{x^3 + 4}_{h(x)})^{-3}}^{g'(h(x))} \cdot \overbrace{(3 \cdot x^2 + 0)}^{h'(x)}

Ableitungen bestimmter Funktionen

Folgende Auflistung zeigt einige bekannte Funktionen und deren Ableitung auf.

a steht hierbei für eine Konstante.

Ausdruck	Ableitung
(\sin(x))'	\cos(x)
(\cos(x))'	-\sin(x)
(e^x)'	e^x
(a^x)'	a^x \cdot \ln(a)
(\ln(x))'	\frac{1}{x}
(\log_a(x))'	\frac{1}{x \cdot \ln(a)}