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<script src="../../../assets/deployggb.js"></script>
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<script src="../../../assets/graphs.js"></script>
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<script>
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window.graphs(
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[
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[
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"example",
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[
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"f(x) = (x^4 - 1)^2",
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"f'(x)"
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]
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],
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[
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"distance-time",
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[
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"t(x) = sqrt(x)",
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"t'"
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],
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(api) =>
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{
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api.setAxisUnits(1, "h", "km");
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}
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],
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[
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"detect",
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[
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"f(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 2)",
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"f'",
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"ComplexRoot(f')",
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"Extremum(f)",
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"s_1 = Line(A, z_2)",
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"s_2 = Line(B, z_1)"
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],
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(api) =>
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|
{
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api.setColor("s_1", 0, 128, 0);
|
|
api.setColor("s_2", 0, 128, 0);
|
|
api.setLineStyle("s_1", 1);
|
|
api.setLineStyle("s_2", 1);
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}
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]
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]);
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</script>
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# Ableitungen
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Die Ableitung einer Funktion sagt aus, wie sich die Werte der Funktion an einer gegebenen Stelle verändern.
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<div id="example"></div>
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Wie zu sehen ist, zeigt $f'(x)$ an Stellen, an denen $f(x)$ eine Steigung hat, einen positiven Wert, an Stellen, an denen $f(x)$ keine Steigung hat, $0$ und an Stellen, an denen $f(x)$ sich senkt, einen negativen Wert.
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Ableitungen werden jeweils als den Funktions-Namen zusammen mit einem Apostroph geschrieben. So heisst also beispielsweise die Ableitung der Funktion $z(x)$ üblicherweise $z'(x)$.
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> **_Note:_**
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> Will man die Ableitung eines Terms ausdrücken, so macht man das folgendermassen:
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>
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> Die Ableitung von $420x - 1337x^2$ ist $(420x - 1337x^2)'$.
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## Inhaltsverzeichnis
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- [Ableitungen](#ableitungen)
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- [Inhaltsverzeichnis](#inhaltsverzeichnis)
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- [Realbeispiel](#realbeispiel)
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- [Ableitungen erkennen](#ableitungen-erkennen)
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- [Zweite, Dritte, $n$. Ableitung](#zweite-dritte-n-ableitung)
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- [Ableitungs-Regeln](#ableitungs-regeln)
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- [Allgemeine Regeln](#allgemeine-regeln)
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- [Konstante](#konstante)
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- [Faktor-Regel](#faktor-regel)
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- [Potenz-Regel](#potenz-regel)
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- [Summen-Regel](#summen-regel)
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|
- [Produkt-Regel](#produkt-regel)
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|
- [Quotienten-Regel](#quotienten-regel)
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|
- [Ketten-Regel](#ketten-regel)
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|
- [Ableitungen bestimmter Funktionen](#ableitungen-bestimmter-funktionen)
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## Realbeispiel
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Die Ableitung kann beispielsweise verwendet werden, um die Geschwindigkeit einer Bewegung abzubilden.
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Folgendes Weg-Zeit-Diagramm soll das verdeutlichen:
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<div id="distance-time"></div>
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Nicht nur zeigt hier $t'$ die Ableitung der Funktion $t$ auf, sondern auch jeweils die momentane Geschwindigkeit, die eine Person zum gegebenen Zeitpunkt hat.
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## Ableitungen erkennen
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Ableitungen kann man daran erkennen, dass sie jeweils an den Stellen, an denen die abzuleitende Funktion einen Scheitelpunkt erreicht, einen Wert von $0$ haben, da an diesen Stellen weder eine Senkung noch eine Steigung vorherrscht.
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Beispiel:
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<div id="detect"></div>
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## Zweite, Dritte, $n$. Ableitung
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Erstellt man eine Ableitung einer bereits existierenden Ableitung, so nennt sich diese "Zweite Ableitung". Dessen Ableitung wiederum heisst "Dritte Ableitung" etc.
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> **_In Worten:_**
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> - $f'$ ist die Ableitung von $f$
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> - $f''$ ist die Ableitung von $f'$ und somit die **Zweite Ableitung** von $f$
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> - $f'''$ ist die Ableitung von $f''$ und somit die **Dritte Ableitung** von $f$
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## Ableitungs-Regeln
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Um von einer Funktion (oder Bruchteilen davon) die Ableitung zu errechnen, können einige allgemeingültige Regeln zugezogen werden, welche im Folgenden erklärt werden.
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Hilfreiche Links für's Nachschlagen der Regeln:
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- https://www.mathebibel.de/ableitungsregeln
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- https://www.youtube.com/watch?v=GtVWdeevZpw
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### Allgemeine Regeln
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#### Konstante
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Besteht in der Funktion nur eine Konstante ohne ein $x$, so ist dessen Ableitung immer $0$:
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| Funktion | Ableitung |
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| ----------------- | ----------- |
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| $f(x) = 1337$ | $f'(x) = 0$ |
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| $f(x) = \sqrt{2}$ | $f'(x) = 0$ |
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#### Faktor-Regel
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Die Faktor-Regel besagt, dass konstante Zahlen, mit denen $x$ multipliziert werden, auch in dessen Ableitung bestehen bleiben.
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> $$f(x) = c \cdot x \rightarrow f'(x) = c \cdot (x)'$$
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Das bedeutet folgendes:
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Wenn $f(x)$ folgender Funktion entspricht:
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$f(x) = 2 \cdot g(x)$ und $g(x) = x$
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So ist die Ableitung davon folgende:
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$$f(x) = 2 \cdot g'(x)$$
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| Funktion | Ableitung |
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| ----------- | --------- |
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| $f(x) = 7x$ | $7$ |
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#### Potenz-Regel
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Die Potenzregel lautet folgendermassen:
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> $$f(x) = x^n \rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n - 1}$$
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Auch hier wieder anhand einiger Beispiele:
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| Funktion | Ableitung |
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| ------------- | ----------------------- |
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| $f(x) = x$ | $1$ |
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| $f(x) = x^7$ | $7 \cdot x^6$ |
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| $f(x) = x^6$ | $6 \cdot x^5$ |
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| $f(x) = 3x^6$ | $3 \cdot (6 \cdot x^5)$ |
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#### Summen-Regel
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Die Ableitung einer Addition ergibt die Summe der Ableitung der einzelnen Summanden der Addition:
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> $$f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow f'(x) = g'(x) + h'(x)$$
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Diese Regel ist auch auf Subtraktionen anwendbar:
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> $$f(x) = g(x) - h(x) \rightarrow f'(x) = g'(x) - h'(x)$$
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Diese Regel kann für jegliche Funktion, welche eine Addition beinhaltet, angewendet werden:
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$$f(x) = \overbrace{2x}^{g(x) = 2x} + \overbrace{4x^3}^{h(x) = 4x^3}$$
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$$f'(x) = g'(x) + h'(x)$$
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$$f'(x) = \underbrace{2 \cdot 1 \cdot x^0}_{g'(x) = 2 \cdot 1 \cdot x^0} + \underbrace{4 \cdot 3 \cdot x^2}_{h'(x) = 4 \cdot 3 \cdot x^2}$$
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#### Produkt-Regel
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Die Produkt-Regel beschreibt, wie eine Ableitung einer Funktion gemacht werden kann, welche eine Multiplikation beinhaltet.
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> $$f(x) = g(x) \cdot h(x) \rightarrow f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$$
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Auch hier wiederum ein Beispiel:
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$$f(x) = \overbrace{(3x^3 + x^2)}^{g(x) = 3x^3 + x^2}\overbrace{(4x^2 + 1)}^{h(x) = 4x^2 + 1}$$
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$$f'(x) = g'(x) \cdot h'(x)$$
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$$f'(x) = \underbrace{(3 \cdot 3 x^2 + 1 \cdot x^1)}_{g'(x) = 3 \cdot 3 x^2 + 1 \cdot x^1} \cdot \overbrace{(4x^2 + 1)}^{h(x)} + \overbrace{(3x^3 + x^2)}^{g(x)} \cdot \underbrace{(4 \cdot 2 \cdot x^1 + 0)}_{h'(x) = 4 \cdot 2 \cdot x^1 + 0}$$
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#### Quotienten-Regel
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Von der Produkt-Regel lässt sich auch die Quotienten-Regel ableiten. Diese beschreibt, wie man die Ableitung von Divisionen bilden kann und lautet folgendermassen:
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> $$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \rightarrow \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}$$
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Wie diese Regel angewendet wird, lässt sich anhand des folgenden Beispiels aufzeigen:
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$$f(x) = \left(\frac{\overbrace{3x^2 - x}^{g(x)}}{\underbrace{2x^3 + 1}_{h(x)}}\right)$$
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$$f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}$$
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$$f'(x) = \frac{\overbrace{(3 \cdot 2 \cdot x^1 - 1 \cdot x^0)}^{g'(x)} \cdot \overbrace{(2x^3 + 1)}^{h(x)} - \overbrace{(3x^2 - x)}^{g(x)} \cdot \overbrace{(2 \cdot 3 \cdot x^2 + 0)}^{h'(x)}}{(\underbrace{2x^3 + 1}_{h(x)})^2}$$
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#### Ketten-Regel
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Die Ketten-Regel zeigt auf, wie die Ableitung von verschachtelten Funktionen geformt werden kann.
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Folgende Regel gilt:
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> $$f(x) = g(h(x)) \rightarrow f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$$
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Aufgezeigt anhand eines Beispiels:
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$$f(x) = \overbrace{(\underbrace{x^3 + 4}_{h(x) = x^3 + 4})^{-2}}^{g(x) = x^{-2}}$$
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$$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$$
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$$f'(x) = \overbrace{-2 \cdot (\underbrace{x^3 + 4}_{h(x)})^{-3}}^{g'(h(x))} \cdot \overbrace{(3 \cdot x^2 + 0)}^{h'(x)}$$
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### Ableitungen bestimmter Funktionen
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Folgende Auflistung zeigt einige bekannte Funktionen und deren Ableitung auf.
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$a$ steht hierbei für eine Konstante.
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| Ausdruck | Ableitung |
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| -------------- | -------------------------- |
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| $(\sin(x))'$ | $\cos(x)$ |
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| $(\cos(x))'$ | $-\sin(x)$ |
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| $(e^x)'$ | $e^x$ |
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| $(a^x)'$ | $a^x \cdot \ln(a)$ |
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| $(\ln(x))'$ | $\frac{1}{x}$ |
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| $(\log_a(x))'$ | $\frac{1}{x \cdot \ln(a)}$ |
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