36 lines
1.2 KiB
Markdown
36 lines
1.2 KiB
Markdown
# Formale Notation
|
|
## Mengen
|
|
### Reelle Zahlen
|
|
$\mathbb{R}$
|
|
|
|
### Ohne
|
|
$\mathbb{R} \setminus 1$
|
|
|
|
> ***Note:***
|
|
> Gesprochen: "Alle reellen Zahlen ($\mathbb{R}$) ohne 1."
|
|
|
|
$\mathbb{D} = [0, \infty[$ (gesprochen: "Alle Zahlen ab 0 ohne $\infty$)
|
|
|
|
### Fakultät
|
|
Die Fakultät errechnet sich, indem man die Werte aller Zahlen in einer Zahlenwerte summiert.
|
|
|
|
So berechnet sich die Fakultät von $100$ bspw. indem man folgendes rechnet:
|
|
$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +...+100$$
|
|
|
|
Bildet man jedoch die Zahlenreihe zweimal in entgegengesetzter Richtung, wird möglicherweise auffallen, dass sich jeweils Zahlenpaare bilden, die immer die Summe der äussersten Zahlen der Reihe zusammenrechnet:
|
|
|
|
$$\underbrace{1}_{100} + \underbrace{2}_{99} + \underbrace{3}_{98} ... + \underbrace{100}_{1}$$
|
|
|
|
Alle Zahlenpaare zusammen ergeben $100 \times 101$.
|
|
|
|
Da in dieser Zusammenfassung jedes Zahlenpaar doppelt vorkommt, muss die Lösung dieser Rechnung halbiert werden, um die Lösung der Fakultät zu erhalten:
|
|
|
|
$$\sum^{100}_{k=1}k = \frac{100 \times (100 + 1)}{2} = 5050$$
|
|
|
|
Dementsprechend kann auch die Fakultät anderer Zahlen errechnet werden:
|
|
|
|
$$\sum^{n}_{k=1}k = \frac{n \times (n + 1)}{2}$$
|
|
|
|
#### Quadrat Gagg
|
|
$$\sum^{n}_{k=1}k^2 = \frac{n \cdot (n + 1) \cdot (2n + 1)}{6}$$
|