ZHAWNotes/Notes/Semester 2/AN2 - Analysis 2/Zusammenfassung SEP.md

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# Zusammenfassung Analysis 2
## Inhalt
- [Zusammenfassung Analysis 2](#zusammenfassung-analysis-2)
  - [Inhalt](#inhalt)
  - [Nullstellen durch Horner-Schema](#nullstellen-durch-horner-schema)
  - [Stammfunktion](#stammfunktion)
  - [Integrale](#integrale)
    - [Grundintegrale](#grundintegrale)
    - [Integration von Produkten](#integration-von-produkten)
      - [Integration durch Substitution](#integration-durch-substitution)
      - [Partielle Integration](#partielle-integration)
      - [Partialbruchzerlegung](#partialbruchzerlegung)
      - [Leitfaden](#leitfaden)
  - [Uneigentliche Integrale](#uneigentliche-integrale)
    - [Uneigentlicher Integrationsbereich](#uneigentlicher-integrationsbereich)
    - [Regel Bernoulli de l'Hopital](#regel-bernoulli-de-lhopital)
  - [Differentialgleichungen](#differentialgleichungen)
    - [Gewöhnliche Differentialgleichungen](#gewöhnliche-differentialgleichungen)
    - [Differentialgleichungen 1. Ordnung](#differentialgleichungen-1-ordnung)
      - [Euler-Schritte](#euler-schritte)
    - [Separierbare Differentialgleichungen](#separierbare-differentialgleichungen)
      - [Definition](#definition)
      - [Lösungsweg](#lösungsweg)
      - [Beispiel](#beispiel)
    - [Autonome Differentialgleichung](#autonome-differentialgleichung)
      - [Beispiele](#beispiele)
      - [Lösungsweg](#lösungsweg-1)
    - [Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung](#lineare-differentialgleichung-1-ordnung)
      - [Lösungswege](#lösungswege)
        - [Lösung durch Variabel-Separierung](#lösung-durch-variabel-separierung)
        - [Lösung durch Variation der Konstanten](#lösung-durch-variation-der-konstanten)
  - [Anwendung der Integralrechnung](#anwendung-der-integralrechnung)
    - [Der Mittelwert](#der-mittelwert)
    - [Die Arbeit](#die-arbeit)
    - [Rotationskörper](#rotationskörper)
      - [Rotationskörper um die $x$-Achse](#rotationskörper-um-die-x-achse)
      - [Rotationskörper um die $y$-Achse](#rotationskörper-um-die-y-achse)
      - [Mantelfläche eines Rotationskörpers](#mantelfläche-eines-rotationskörpers)
    - [Bogenlänge einer Kurve](#bogenlänge-einer-kurve)
    - [Schwerpunkt](#schwerpunkt)
    - [Schwerpunkt eines Rotationskörpers](#schwerpunkt-eines-rotationskörpers)
  - [Taylor-Reihen](#taylor-reihen)
    - [Herleitung](#herleitung)
      - [Polynom durch Stützpunkte Legen](#polynom-durch-stützpunkte-legen)
        - [Beispiel](#beispiel-1)
      - [Lokale Approximation](#lokale-approximation)
        - [Taylor-Polynom](#taylor-polynom)
        - [Taylor-Reihe](#taylor-reihe)
    - [Konvergenz](#konvergenz)
      - [Potenzreihen](#potenzreihen)

## Nullstellen durch Horner-Schema
Das Horner-Schema erlaubt es, Nullstellen leicht zu bestimmen.

Der Vorgang wird anhand der folgenden Gleichung aufgezeigt:

$$f(x) = 3x^3 - 15x + 12$$

Eine Nullstelle dieser Formel ist die $1$. Dies lässt sich wie folgt mit dem Horner-Schema prüfen:

![](Horner%20Method.png)

**1. Nullstelle aufschreiben**

Im Bild rot markiert

**2. Die Koeffizienten aller $x$-Potenzen aufschreiben**

Zu sehen im Bild in der obersten Reihe.  
Entspricht eine der Koeffizienten $0$ (wie in diesem Beispiel $x^2$), so **muss** im Horner-Schema eine $0$ eingetragen werden.

**4. Startwert notieren**
Die Berechnung wird gestartet indem man den ersten Koeffizient (in diesem Fall $3$) in die unterste Reihe überträgt.

**5. Berechnung**

In diesem Schritt multipliziert man die Eingabe-Zahl mit der bekannten Nullstelle (im Bild durch graue Pfeile markiert) und addiert das Ergebnis mit dem nachfolgenden Koeffizienten.

Ist das letzte Resultat $0$, so handelt es sich auch wirklich um eine Nullstelle.

> **Note:**  
> Anhand der Resultat-Reihe im Horner-Schema lässt sich das übrigbleibende Polynom ablesen.
>
> Rechnet man die Nullstelle $1$ aus der Rechnung $3x^3 - 15x + 12$ heraus, so würde das übrigbleibende Polynom folgendermassen lauten:
> $$3x^2 + 3x - 12$$
>
> Verdeutlicht:
> $$3x^3 - 15x + 12 = (x - 1) \cdot (3x^2 + 3x - 12)$$

## Stammfunktion
Umkehrung von Ableitungen gemäss der Seite über Ableitungen.

Alle Ableitungsregeln können unter Ableitungen nachgeschlagen werden.

## Integrale
Integrale erlauben es, die Fläche unter Funktionen zu berechnen:

<p id="example"></p>

**Beispiel anhand der Funktion $f(x) = x^3 + 5$**

Integrale haben folgende Erscheinungsform:

$$\int_{a}^{b}{f(x)}dx$$

Die Zeichen haben folgende Bedeutung:
  - $\int$: Integrations-Zeichen
  - $a$: Die Untergrenze (Punkt ab dem integriert werden soll)
  - $b$: Die Obergrenze (Punkt bis zu dem integriert werden soll)
  - $f(x)$: Zu integrierende Funktion
  - $dx$: Bezeichnet, dass $x$ integriert wird, indem unendlich kleine Rechtecke aufsummiert werden.

### Grundintegrale
$$\begin{aligned}
  \int{a}dx &= ax \\
  \int{x^n}dx &= \frac{x^{n+1}}{n + 1}, &n &\not = -1 \\
  \int{\frac{1}{x}}dx &= \ln(|x|), &x &\not = 0 \\
  \int{a^x}dx &= \frac{a^x}{\ln(a)}, &a &> 0, &a &\not = 1
\end{aligned}$$

### Integration von Produkten
Produkte benötigen zum Teil spezielle Vorgehensweisen um sie zu integrieren.

Zwei gängige Wege dazu sind im Folgenden Beschrieben.

#### Integration durch Substitution
Die Integration durch Substitution basiert auf der folgenden Regel:

$$\int_a^b{f(u(x)) \cdot u'(x)}dx = \int_{u(a)}^{u(b)}{f(u)}du$$

Die Integration durch Substitution wird hier anhand des folgenden Beispiels gezeigt:

$$\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{\cos(x^2) \cdot x}dx$$

**1. Funktionen bestimmen**

Im Folgenden werden die Haupt- und die Unterfunktion bestimmt.

  - $u(x) = x^2$
  - $g(x) = \cos(u) \cdot x$
  - $f(x) = g(u(x))$

**2. Substitutions-Gleichung für $dx$**

Diese kann mit folgender Regel ermittelt werden:

$$\frac{du}{dx} = u'(x) \Rightarrow dx = \frac{du}{u'(x)}$$

Das ergibt in diesem Beispiel folgendes:

$$\frac{du}{dx} = u'(x) = 2x \Rightarrow dx = \frac{du}{2x}$$

**3. Substitution**

Nun müssen die errechneten Werte in die folgende Formel eingesetzt werden:

$$\int_{u(a)}^{u(b)}{f(u)}du$$

Wobei $du$ durch unser errechnetes $dx$ ersetzt werden muss.

Wichtig ist hierbei, dass sich $x$ komplett wegkürzen lassen **muss**.

$$\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{\cos(x^2) \cdot x}dx =
\int_{u(0)}^{u(\sqrt{\frac{\pi}{2}})}{\cos(u) \cdot x \cdot \frac{du}{2x}}$$

Vereinfacht ergibt das folgendes:

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{2} \cdot \cos(u)}du = \left[\frac{1}{2} \cdot \sin(u)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$$

**4. Resultat berechnen**

$$\left[\frac{1}{2} \cdot \sin(u)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{1}{2} \cdot 1\right) - \left(\frac{1}{2} \cdot 0\right) = \frac{1}{2}$$

Bei Integralen, die keine Grenzen definiert haben, lässt sich das Ergebnis nicht eindeutig bestimmen.

Hätte das ursprüngliche Integral keine Grenzen, wäre das Ergebnis folgendes:

$$\left[\frac{1}{2} \cdot \sin(u)\right] = \frac{1}{2} \cdot \sin(u) + C$$

**5. Rücksubstitution**

Im Falle eines Integrals ohne Grenzen muss die Variable $u$ rück-substituiert werden:

$$\frac{1}{2} \cdot \sin(u) + C = \frac{1}{2} \cdot \sin(x^2) + C$$

#### Partielle Integration
Die Partielle Integration beruht auf folgender Regel:  
Bestimmt:

$$\int_a^b{u'(x) \cdot v(x)dx} = \left[u(x) \cdot v(x)\right]_a^b - \int_a^b{u(x) \cdot v'(x)}dx$$

Unbestimmt:

$$\int{u'(x) \cdot v(x)}dx = u(x) \cdot v(x) - \int{u(x) \cdot v'(x)}dx$$

Die Partielle Integration wird anhand des folgenden Beispiels erklärt:

$$\int_0^\pi{sin(x) \cdot x}dx$$

Folgende Schritte müssen für die partielle Integration durchgeführt werden:

**1. Unterfunktionen bestimmen**

Einem Teil der Funktion $v$ und einem anderen $u'$ zuordnen. Sollte die partielle Integration nicht funktionieren, kann in diesem Schritt die Zuordnung von $v$ und $u'$ vertauscht werden.

  - $u'(x) = sin(x)$
  - $v(x) = x$

**2. Stammfunktion von $u'$ und Ableitung von $v$ bestimmen**

  - $u(x) = -\cos(x)$
  - $v'(x) = 1$

**3. Resultat berechnen**

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

$$\int_0^\pi{u'(x) \cdot v(x)dx} = \left[u(x) \cdot v(x)\right]_0^\pi - \int_0^\pi{u(x) \cdot v'(x)}dx$$
$$\left[-\cos(x) \cdot x\right]_0^\pi - \int_0^\pi{-\cos(x) \cdot 1}dx$$
$$((1 \cdot \pi) - (1 \cdot 0)) - \int_0^\pi{-\cos(x)}dx$$
$$(\pi - 0) - \left[\sin(x)\right]_0^\pi$$
$$(\pi - 0) - (\sin(0) - \sin(\pi))$$
$$(\pi - 0) - (0 - 0) = \pi$$

> **Note:**  
> Die Partielle Integration kann auch für einfache Operationen verwendet werden, indem eine Multiplikation mit $1$ durchgeführt wird.
>
> Beispiel:
>
> $$\int{ln(x)}dx = \int{ln(x) \cdot 1}dx$$

#### Partialbruchzerlegung
Für die Partialbruchzerlegung muss der zu integrierende Bruch **vollständig gekürzt** sein.

Die Partialbruchzerlegung wird anhand der folgenden Aufgabe erklärt:

$$\int{\frac{x + 1}{x^3 + 5x^2 + 8x - 4}}dx$$

Folgende Schritte müssen durchgeführt werden:

**1. Nullstellen des Nenners bestimmen**

Durch erraten: (Eine der Nullstellen ist $1$)

Linearfaktor abspalten mit Horner-Schema:

![](PartInteg.png)

Verbleibendes Polynom: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2) \cdot (x - 2)$

Die verbleibende, **doppelte** Nullstelle ist also $x = 2$.

**2. Jeder Nullstelle eine Summe von Nullstellen zuordnen**

  - Für einfache Nullstellen:
    $$\rightarrow \frac{A}{x - x_1}$$
  - Für doppelte Nullstellen:
    $$\rightarrow \frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{(x - x_1)^2}$$
  - Für $r$-fache Nullstellen:
    $$\rightarrow \frac{A_1}{x - x_1} + \frac{A_2}{(x - x_1)^2} + ... + \frac{A_r}{(x - x_1)^r}$$

Das ergibt im Fall des Beispiels folgendes:

$$\frac{x + 1}{x^3 - 5x^2 + 8x - 4} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{(x - 2)^2}$$

**3. Brüche gleichnamig machen**

$$\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)^2} = \frac{A(x - 2)^2}{(x + 1)(x - 2)^2} + \frac{B(x - 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 2)^2} + \frac{C(x - 1)}{(x + 1)(x - 2)^2}$$

Da die Brüche nun gleichnamig sind, können sämtliche Nenner weggekürzt werden:

$$x + 1 = A(x - 2)^2 + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)$$

**4. Koeffizienten mit Hilfe von LGS ausrechnen**

Gleichung ausmultiplizieren und nach Potenz zerlegen:

$$(A + B)x^2 + (C - 4A - 3B)x + (4A + 2B - C)$$

  - $x + 1$ beinhaltet kein $x^2$. Also muss $(A + B)$ zwingend $0$ ergeben:
    $$A + B = 0$$
  - $x + 1$ beinhaltet $1x$. Also muss $C - 4A - 3B$ $1$ ergeben:
    $$C - 4A - 3B = 1$$
  - $x + 1$ beinhaltet eine Konstante $1$. Also muss $4A + 2B - C$ $1$ ergeben:
    $$4A + 2B - C = 1$$

Das Lösen des Gleichungssystems ergibt folgende Resultate:

  - $A = 2$
  - $B = -2$
  - $C = 3$

Daraus ergibt sich folgendes:

$$\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)^2} = \frac{2}{x - 1} + \frac{-2}{x - 2} + \frac{3}{(x - 2)^2}$$

**5. Integration der Teilbrüche**

Für Nenner ohne Exponent:

$$\int{\frac{1}{x - x_0}}dx = \int{\frac{1}{u}}du = \ln(|u|) + c = \ln(|x - x_0|) + c$$

Für Nenner mit Exponent:
$$\begin{split}
  \int{\frac{1}{(x - x_0)^r}}dx = \int{u^{-r}}du & = \frac{u^{-r + 1}}{-r + 1} + c \\
  & = \frac{(x - x_0)^{-r + 1}}{1 - r} + c \\
  & = \frac{1}{(1 - r)(x - x_o)^{r - 1}} + c
\end{split}$$

Für das aktuelle Beispiel ergibt das folgendes:

$$\begin{split}
  \int{\frac{2}{x - 1} + \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{(x - 2)^2}}dx & = \int{\frac{2}{x - 1}} - \int{\frac{2}{x - 2}} - \int{\frac{3}{(x - 1)^2}} \\
  & = 2 \cdot \int{\frac{1}{x - 1} - 2 \cdot \int{\frac{1}{x - 2}}} - 3 \cdot \int{\frac{1}{(x - 2)^2}} \\
  & = 2 \cdot \ln(|x - 1|) - 2 \cdot \ln(|x - 2|) - 3 \cdot \frac{1}{x - 2} + c
\end{split}$$

#### Leitfaden
![](ProductInt.png)

## Uneigentliche Integrale
Uneigentliche Integrale sind Integrale, welche einen unendlich grossen Integrationsbereich hat oder eine Polstelle (Grenze an unendlichem Wert) enthält.

### Uneigentlicher Integrationsbereich
Dies ist der Fall, wenn die Untergrenze eines Integrals $-\infin$ oder dessen Obergrenze $+\infin$ ist.

<p id="infinity"></p>

_Beispiel anhand des Integrals $\int_1^{\infin} 6 \cdot \frac{1}{x^2}$_

Uneigentliche Integrale können berechnet werden, indem man erst die Stammfunktion ausformuliert, um dann den Grenzwert zu berechnen.

**1. Bestimmung der Stammfunktion**

$$\int_1^{\infin}{6 \cdot \frac{1}{x^2}} = \left[6 \cdot -\frac{1}{x}\right]_1^{\infin}$$

**2. Grenzwert mit Hilfe von $\lim$ berechnen**

$$\left[6 \cdot -\frac{1}{x}\right]_1^{\infin} = 6 \cdot -\frac{1}{\infin} - 6 \cdot -\frac{1}{1} = 6 \cdot 0 - -6 \cdot -1 = 6$$

### Regel Bernoulli de l'Hopital

Wenn für eine Funktion $f(x)$ und $g(x)$ folgendes gilt:

- $f(x)$ und $g(x)$ sind in der Umgebung von $x_0$ berechenbar.
- $\frac{f(x)}{g(x)}$ ergibt, wenn $x \rightarrow x_0$ $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infin}{\infin}$

Dann gilt:

$$\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$$

## Differentialgleichungen
### Gewöhnliche Differentialgleichungen
Differentialgleichungen sind Funktionen, welche als Rückgabewert an Stelle eines Skalar-Werts eine Funktion liefert.

Eine Differentialfunktion wird dargestellt durch die Ableitung, die resultierende Funktionen haben sollen:

So sind für die Differenzialgleichung $y' = x - y + 1$ alle resultierende Funktionen gültig, welche die Ableitung $x - y + 1$ haben.

Die Ordnung einer Differentialgleichung sagt aus, was der höchste Ordnung der höchsten vorkommenden Ableitung.

### Differentialgleichungen 1. Ordnung
Differentialgleichungen 1. Ordnung lassen sich als Richtungsfelder darstellen:

<p id="slope-field"></p>

Obig zu sehen ist das Richtungsfeld für die Differentialgleichung $y' = x - y + 1$.

Die Striche zeigen jeweils die Steigung, die das Resultate der Differentialgleichung mit dem entsprechenden $x$- und $y$-Wert hat.

Hierbei steht $0$ für keine Steigung (waagerecht), -1 für eine 45°-Senkung nach unten und 1 für eine 45°-Steigung nach oben.

Alternativ lässt sich die Differentialgleichung auch in tabellarischer Form für $y'$ darstellen:

| $f'(x_0, y_0)$ | $x_0 = -3$ | $x_0 = -2$ | $x_0 = -1$ | $x_0 = 0$ | $x_0 = 1$ | $x_0 = 2$ | $x_0 = 3$ |
| :------------: | :--------: | :--------: | :--------: | :-------: | :-------: | :-------: | :-------: |
|   $y_0 = 2$    |    $-4$    |    $-3$    |    $-2$    |   $-1$    |    $0$    |    $1$    |    $2$    |
|   $y_0 = 1$    |    $-3$    |    $-2     |    $-1$    |    $0$    |    $1$    |    $2$    |    $3$    |
|   $y_0 = 0$    |    $-2$    |    $-1$    |    $0$     |    $1$    |    $2$    |    $3$    |    $4$    |
|   $y_0 = -1$   |    $-1$    |    $0$     |    $1$     |    $2$    |    $3$    |    $4$    |    $5$    |
|   $y_0 = -2$   |    $0$     |    $1$     |    $2$     |    $3$    |    $4$    |    $5$    |    $6$    |

#### Euler-Schritte
Ein Weg, um eine Lösung für eine Differentialgleichung zu approximieren ist die Methode der Euler-Schritte.

![](EulerSteps.png)

Beispiel mit folgenden Parametern:  
$y' = x + y, x_0 = 0, y_0 = 1, h = 1$

| Steigung Gerade                              | Berechnung                        | Beispiel                     |
| -------------------------------------------- | --------------------------------- | ---------------------------- |
| $g_0\text{: } m_0 = F(x_0, y_0) = x_0 + y_0$ | $x_1 = x_0 + h$                   | $= 0 + 1 = 1$                |
| Im Beispiel: $1$                             | $y_1 = y_0 + h \cdot F(x_0, y_0)$ | $= 1 + 1 \cdot (0 + 1) = 2$  |
| $g_1\text{: } m_1 = F(x_1, y_1) = x_1 + y_1$ | $x_1 = x_0 + h$                   | $= 1 + 1 = 2$                |
| Im Beispiel: $3$                             | $y_1 = y_0 + h \cdot F(x_1, y_1)$ | $= 2 + 1 \cdot (1 + 2) = 5$  |
| $g_2\text{: } m_2 = F(x_2, y_2) = x_2 + y_2$ | $x_3 = x_2 + h$                   | $= 2 + 1 = 3$                |
| Im Beispiel: $7$                             | $y_3 = y_2 + h \cdot F(x_2, y_2)$ | $= 5 + 1 \cdot (2 + 5) = 12$ |
| etc.                                         | etc.                              | etc.                         |

Den Abstand zwischen den einzelnen Euler-Schritte $h$ kann hierbei frei gewählt werden. Je kleiner $h$ gewählt wird, desto genauer wird das Resultat.

### Separierbare Differentialgleichungen
#### Definition
Eine Differentialgleichung 1. Ordnung ist _separierbar-, wenn sie sich in folgende Form bringen lässt:
$$y' = f(x) \cdot g(y)$$

> #### Beispiele
>   - $y' = (x^2 + \sin(x)) \cdot (e^y - y + 7)$ ist separierbar
>   - $y' = x - y + 1$ ist _nicht_ separierbar

#### Lösungsweg
  1. Gleichung zu Differentialquotient umschreiben:  
     $y' = \frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y)$
  2. Trennung der Variablen:  
     $\frac{dy}{g(y)} = f(x) \cdot dx$
  3. Integration auf beiden Seiten der Gleichung:  
     $\int{\frac{dy}{g(y)} = \int{f(x) \cdot dx}}$
  4. Auflösen nach $y$

#### Beispiel
$$y' = k \cdot y$$

**1. Gleichung zu Differentialquotient umschreiben:**

$$y' = \frac{dy}{dx} = \underbrace{k}_{f(x)} \cdot \underbrace{y}_{g(y)}$$

**2. Trennung der Variablen:**

Alle $x$ und $y$ auf separate Seite des $=$ bringen:

$$\frac{dy}{y} = k \cdot dx$$

**3. Integration auf beiden Seiten der Gleichung:**

$$\int{\frac{dy}{y}} = \int{\frac{1}{y}}dy = \ln(|y|) \\
\int{k \cdot dx} = k \cdot x + C \\
\ln(|y|) = k \cdot x + C$$

**4. Auflösen nach $y$:**

$$\ln(|y|) = k \cdot x + C \\
|y| = e^{k \cdot x + C} \\
y = \pm e^{k \cdot x + C} = \underbrace{\pm e^C}_{a} \cdot e^{k \cdot x} = a \cdot e^{k \cdot x}$$

**Kontrolle:**

$$y' = (a \cdot e^{k \cdot x})' = a \cdot k \cdot e^{k \cdot x} \\
k \cdot y = k \cdot a \cdot e^{k \cdot x} \\
y' = k \cdot y$$

### Autonome Differentialgleichung
Als autonom werden die Differentialgleichungen bezeichnet, die sich in folgende Form bringen lassen:

$$y' = f(y)$$

#### Beispiele
| Gleichung                                    | Autonom? |
| -------------------------------------------- | -------- |
| $y' = y^2 + 6$                               | Ja       |
| $y' = x + y$                                 | Nein     |
| $y' = \frac{y}{x}$                           | Nein     |
| $y' = y^2 \cdot \sqrt{1 - \sin(y)} - \ln(y)$ | Ja       |

#### Lösungsweg
Gleich wie [separierbare Differentialgleichungen](#separierbare-differentialgleichungen).

### Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
Eine Differentialgleichung 1. Ordnung ist _lineare_, wenn sie sich in folgende Form bringen lässt:
$$y' = f(x) \cdot y + g(x)$$

$g(x)$ wird hierbei als _Störglied_ oder _Störfunktion_ bezeichnet.

Solche Differentialgleichungen nennen sich _"linear"_, weil sowohl $y$ als auch $y'$ keinen Exponenten haben. Es spielt es keine Rolle, ob $x$ in $f(x)$ oder $g(x)$ eine Potenz hat.

Eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung ist dann _homogen_, wenn $g(x)$ $0$ entspricht. In allen anderen Fällen ist die Differentialgleichung _inhomogen_.

#### Lösungswege
##### Lösung durch Variabel-Separierung
Beispiel anhand folgender Formel:
$$y' = \frac{2y}{x} + x^3$$

**1. Komponenten der linearen Differentialgleichung bestimmen:**
$$\begin{align*}
  f(x) &= \frac{2}{x} \\
  g(x) &= x^3
\end{align*}$$

**2. Homogenen Anteil berechnen:**

In diesem Schritt wird die Differentialgleichung ***ohne $g(x)$*** berechnet.

Dies funktioniert mit Hilfe der Variabel-Trennung nach folgender Formel:

$$y_h = C \cdot e^{\int{f(x)}dx}$$

Für das Beispiel ergibt das folgendes:

$$y_h = C \cdot e^{\int{\frac{2}{x}}} = C \cdot e^{2 \cdot \ln(|x|)} = C \cdot e^{\ln(|x|^2)} = C \cdot e^{\ln(x^2)} = C \cdot x^2$$

**3. Partikulären Anteil berechnen:**

Mit Hilfe der folgenden Formel kann der Partikuläre Anteil berechnet werden:

$$y_P = y_h \cdot \int{\frac{g(x)}{y_h}}dx$$

Für das Beispiel ergibt das wiederum:

$$y_P = C \cdot x^2 \cdot \int{\frac{x^3}{C \cdot x^2}}dx = x^2 \cdot \int{x} = x^2 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^4}{2}$$

**4. Homogenen und Partikulären Anteil addieren:**

$$y = y_h + y_P = C \cdot x^2 + \frac{x^4}{2}$$

##### Lösung durch Variation der Konstanten
Eine weitere Möglichkeit ist das Verfahren "Variation der Konstanten".

Folgend ein Beispiel anhand folgender Differentialgleichung:

$$y' = \cos(x) - \frac{y}{x}\text{ für x > 0}$$

**1. Komponenten bestimmen:**

$$\begin{align*}
  f(x) &= -\frac{1}{x} \\
  g(x) &= \cos(x) \\
  F(x) &= -\ln(x)\text{ für x > 0}
\end{align*}$$

**2. Homogene Gleichung berechnen:**

Mit Hilfe folgender Formel lässt sich der homogene Anteil berechnen:

$$y_0 = C \cdot e^{F(x)}$$

Im aktuellen Beispiel ergibt das folgendes:

$$y_0 = C \cdot e^{F(x)} = C \cdot e^{-\ln(x)} = \frac{C}{x}$$

**3. Konstante $C$ ersetzen**

Im nächsten Schritt wird die Konstante $C$ im zuvor berechneten homogenen Anteil durch folgende Formel ersetzt:

$$K(x) = \int{g(x) \cdot e^{-F(x)}}dx$$

Für das Beispiel ergibt das folgendes:

$$\begin{align*}
\frac{K(x)}{x} \\
  &= \frac{1}{x} \cdot \int{g(x) \cdot e^{-F(x)}}dx \\
  &= \frac{1}{x} \cdot \int{\cos(x) \cdot e^{\ln(x)}}dx \\
  &= \frac{1}{x} \cdot \int{\cos(x) \cdot x}dx \\
  &= \frac{1}{x} \cdot (\sin(x) \cdot x + \cos(x)) \\
  &= \frac{\sin(x) \cdot x + \cos(x)}{x}
\end{align*}$$

## Anwendung der Integralrechnung
### Der Mittelwert
Der Mittelwert einer Funktion errechnet sich mit der folgenden Formel:

$$\mu = \frac{1}{b - a} \cdot \int_a^b{f(x)}dx$$

### Die Arbeit
$$\int_{s_1}^{s_2}{F(s)}ds$$

### Rotationskörper
#### Rotationskörper um die $x$-Achse
$$V = \pi \cdot \int_a^b{(f(x))^2}dx$$

#### Rotationskörper um die $y$-Achse
$$V = \pi \cdot \int_c^d{(g(y))^2}dy$$

#### Mantelfläche eines Rotationskörpers
$$M = 2 \cdot \pi \cdot \int_a^b{y \cdot \sqrt{1 + (y')^2}}dx$$

### Bogenlänge einer Kurve
$$s = \int_a^b{\sqrt{1 + (y')^2}}dx$$

### Schwerpunkt
$$x_S = \frac{1}{A} \cdot \int_a^b{x \cdot (f_o(x) - f_u(x))}dx$$
$$y_S = \frac{1}{2A} \cdot \int_a^b{(f_o^2(x) - f_u^2(x))}dx$$

### Schwerpunkt eines Rotationskörpers
$$x_S = \frac{\pi}{V} \cdot \int_a^b{x \cdot f^2(x)}dx$$
$$y_S = 0$$
$$z_S = 0$$

## Taylor-Reihen
### Herleitung
#### Polynom durch Stützpunkte Legen
Um ein Polynom auf $n$ Stützpunkte zu legen, muss das Polynom vom Grad $n - 1$ sein.

Mit Hilfe eines Gleichungssystems lässt sich bestimmen, durch welche bestimmte Stützpunkte durchquert.

##### Beispiel
Der Vorgang wird anhand der Gleichung $f(x) = e^{2x}$ aufgezeigt.

**1. Stützpunkte Identifizieren:**

Der Graph $f(x) = e^{2x}$ läuft unter anderem durch die folgenden Stellen:
  - $(0, 1)$
  - $(1, e^2)$
  - $(2, e^4)$

**2. Gleichungssystem aufstellen:**

Für 3 Stützpunkte benötigt das Polynom, wie erwähnt, einen Grad von $3$.

Ein Polynom 3. Grades hat den folgenden Aufbau:

$$p(x) = a + bx + cx^2$$

Daraus lässt sich anhand der Stützpunkte folgendes Gleichungssystem aufstellen:

$$\begin{align*}
  1 &= a + 0b + 0c \\
  e^2 &= a + b + c \\
  e^4 &= a + 2b + 4c \\
\end{align*}$$

Das Lösen dieses Gleichungssystems ergibt folgendes:

$$\begin{align*}
  a &= 1 \\
  b &= e^2 - 1 - c = -14.02 \\
  c &= \frac{e^4 + 1}{2} - e^2 = 20.41
\end{align*}$$

Die ergebende Polynomfunktion ist:

$$p(x) = 1 - 14.02x + 20.41x^2$$

#### Lokale Approximation
Ziel der lokalen Approximation ist es, eine Annäherung an eine Funktion zu finden, die an einem bestimmten Punkt $x_0$ besonders genau am Funktionswert $f(x_0)$ liegt.

Dies ist möglich mit der folgenden Formel:

##### Taylor-Polynom
Für eine Approximation mit einem _Taylor-Polynom_ vom Grad $n$ der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$ kann folgende Formel verwendet werden:

$$p(x) = \sum_{k = 0}^{n}{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \cdot (x - x_0)^k}$$

##### Taylor-Reihe
Unter _Taylor-Reihe_ versteht man ein unendliches Taylor-Polynom:

$$t_f(x) = \sum_{k = 0}^\infin{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \cdot (x - x_0)^k}$$

### Konvergenz
Die Konvergenz beschreibt den Fakt, dass Annäherungen zum Teil mit der anzunähernden Funktion übereinstimmen.

Hierbei steht der Konvergenz-Bereich für die Stellen, an denen die Funktion und die Annäherung übereinstimmen.

#### Potenzreihen
Grundsätzliche Formel einer Potenzreihe.

$$P(x) = \sum_{k = 0}^\infin{a_k \cdot (x - x_0)^k}$$

> **Quotienten-Kriterium:**  
> Für _jede_ Potenzreihe $P(x) = \sum_{k = 0}^\infin{a_k \cdot (x - x_0)^x}$ gibt es einen Abstand $r$, so dass
>   * alle $x \in (x_0 - r, x_0 + r)$ zum Konvergenz-Bereich gehören
>   * alle $x \in (-\infin, x_0 - r) \cup (x_0 + r, \infin)$ nicht zum Konvergenz-Bereich gehören

https://tu-freiberg.de/sites/default/files/media/fakultaet-fuer-mathematik-und-informatik-fakultaet-1-9277/lorz/grundintegrale.pdf

[^Derivation]: [Ableitungen][Derivation]

[Derivation]: ../.../../../Semester%201/AN1%20-%20Analysis%201/Ableitungen.md